Question

在一个函数中，无穷小量与无穷大量是等价的吗？

Answer 1

当x趋于0时，a^x-1与xlna是等价无穷小量。因为把a^x-1在0点进行泰勒展开，a^x1=1+xlna+o（x^2）,lim(a^x-1)/xlna=lim(xlna+o(x^2))/xlna=1；所以是等价无穷小量。

有限个无穷小量之和仍是无穷小量。 

有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

性质：

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、若函数在某的空心邻域内有界，则称g为当时的有界量。

例如，都是当 时的无穷小量， 是当 时的无穷小量，而 为 时的有界量，是当 时的有界量。特别的，何无穷小量也必定是有界量。