Question

已知正实数a,b,c满足a+2b+4c=8求1/a+1/b+1/c的最小值？

求解需不需要再证明？如果需要，怎样证？

Answer 1

根据柯西-斯瓦茨不等式，对于任意的正实数x1, x2, ..., xn和y1, y2, ..., yn，有：

(x1y1 + x2y2 + ... + xnyn)^2 ≤ (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) × (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2)

其中等号成立当且仅当x1/y1 = x2/y2 = ... = xn/yn。

将题目中的表达式拆分成3个部分，即：

1/a = (2/8) × (1/a) + (4/8) × (1/a) + (2/8) × (1/(2a))
1/b = (2/8) × (1/b) + (4/8) × (1/(2b)) + (2/8) × (1/(4b))
1/c = (2/8) × (1/c) + (4/8) × (1/(2c)) + (2/8) × (1/(4c))

将上述3个式子中的系数相加，可以得到：

(2/8) + (4/8) + (2/8) = 1

因此，可以将原式变形为：

1/a + 1/b + 1/c = (2/8) × (1/a) + (4/8) × (1/b) + (2/8) × (1/c) + (4/8) × (1/(2a)) + (2/8) × (1/(2b)) + (2/8) × (1/(4b)) + (4/8) × (1/(2c)) + (2/8) × (1/(4c))

根据柯西-斯瓦茨不等式，上式右侧的值不超过：

√[(2/8)^2 + (4/8)^2 + (2/8)^2 + (4/8)^2 + (2/8)^2 + (2/8)^2 + (4/8)^2 + (2/8)^2] × √[1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/(2a)^2 + 1/(2b)^2 + 1/(4b)^2 + 1/(2c)^2 + 1/(4c)^2]

将a+2b+4c=8代入上式右侧，可以得到：

√[(2/8)^2 + (4/8)^2 + (2/8)^2 + (4/8)^2 + (2/8)^2 + (2/8)^2 + (4/8)^2 + (2/8)^2] × √[1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/(16a^2) + 1/(4b^2) + 1/(16b^2) + 1/(4c^2) + 1/(16c^2)]

化简右侧的式子，并将系数和指数合并，可以得到：

√(15/64) × √[(16a^2 + 4b^2 + c^2 + 4a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)/(a^2b^2c^2)]

根据均值不等式，有：

(16a^2 + 4b^2 + c^2 + 4a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)/6 ≥ (√(16a^2 · 4b^2 · c^2 · 4a^2b^2 · a^2c^2 · b^2c^2))/6 = 4a·2b·c·2ab·ac·bc/(6abc) = 4

因此，

√[(16a^2 + 4b^2 + c^2 + 4a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)/(a^2b^2c^2)] ≥ 2

将上式代入原式右侧，可以得到：

√(15/64) × √[(16a^2 + 4b^2 + c^2 + 4a^2b^2 + a^2c^2 + b^2c^2)/(a^2b^2c^2)] ≥ √(15/64) × 2 = 3√15/16

因此，原式的最小值为3√15/16。当且仅当a=2/3，b=1/3，c=1/12时，等号成立。