Question

如何用数学归纳法证明： a^ n- b^ n=(a- b)?

Answer 1

求证：a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+...+b^(n-1)]

证明：用数学归纳法

当n=1时，左边=a-b=右边，成立

假设当n=k时，a^k-b^k=(a-b)[a^(k-1)+a^(k-2)b+a^(k-3)b^2+...+b^(k-1)]

当n=k+1时，a^(k+1)-b^(k+1)=a^(k+1)-ab^k+ab^k-b^(k+1)

=a(a^k-b^k)+(a-b)b^k

=(a-b)[a^k+a^(k-1)b+a^(k-2)b^2+...+ab^(k-1)]+(a-b)b^k

=(a-b)[a^k+a^(k-1)b+a^(k-2)b^2+...+ab^(k-1)+b^k]

成立

原题得证

性质

（1）项数：n+1项

（2）第k+1项的二项式系数是cnk。

（3）在二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项式系数相等。

（4）如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项的二项式系数最大。如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的的二项式系数最大，并且相等。