Question

绝对收敛和条件收敛怎么判断

Answer 1

绝对收敛和条件收敛怎么判断如下:

先判断是否收敛；如果收敛，且为交错级数，则绝对收敛。其实就是交错级数如果加绝对值收敛则为条件收敛，如果交错级数不加绝对值也收敛，则为绝对收敛。

拓展知识:

绝对收敛和条件收敛是数列、级数和函数级数中重要的概念，常常用于求解实际问题。绝对收敛和条件收敛是一个收敛的级数，在逐项取绝对值之后仍然收敛，是绝对收敛的，否则是条件收敛的。

1、绝对收敛是无穷级数和广义积分的一种性质。一个数项级数或一个积分绝对收敛当且仅当级数的每一项或者积分的函数取绝对值后仍然收敛或可积。在一般的无穷级数不一定满足，只有在绝对收敛的无穷级数也会具有该性质。

2、条件收敛是收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

3、判别一个数列、级数或函数级数是否绝对收敛，可以通过以下方法：

1）比较判别法

将该数列、级数或函数级数与某个比较级数进行比较，若比较级数收敛，则原数列、级数或函数级数绝对收敛；若比较级数发散，则原数列、级数或函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。

2）比值判别法和根值判别法

对于正项数列、级数和函数级数，可以分别用比值判别法和根值判别法进行判定。若极限值小于1，则绝对收敛；若极限值大于1，则发散；若等于1，则无法判断，需要采用其他方法。

3）绝对收敛的充分性

若一个数列、级数或函数级数绝对收敛，则它必定收敛，即条件收敛。因此，绝对收敛是条件收敛的充分条件。

4）瑕积分判别法

对于函数级数，可以用瑕积分判别法进行判定。若瑕积分收敛，则函数级数绝对收敛；若瑕积分发散，则函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。

通过以上方法，可以判别数列、级数和函数级数的绝对收敛和条件收敛性质，为进一步求解实际问题提供有力的数学工具。