Question

3.已知方程组 3x+y=4m-2, 2x-2y=m-5. 的解满足 x+y<0,m 的取值范围是？

Answer 1

要确定方程组 3x+y=4m-2 和 2x-2y=m-5 的解满足 x+y<0 的条件，我们可以进行以下步骤：
首先，将方程组转化为标准形式：
3x + y = 4m - 2
2x - 2y = m - 5
接下来，我们可以通过解方程组找出 x 和 y 的表达式，并将其代入不等式 x+y < 0 中，从而得到关于 m 的条件。
从第二个方程开始，我们将其转换为 x = (m - 5 + 2y)/2。
将新的 x 表达式代入第一个方程中得到：
3((m - 5 + 2y)/2) + y = 4m - 2
然后，对上述方程进行整理和简化：
(3m - 15 + 6y + 2y) / 2 + y = 4m - 2
3m - 15 + 6y + 2y + 2y = 8m - 4
3m + 10y = 8m + 11
-5m = 10y - 11
根据以上推导，我们可以得到 m 和 y 的关系式：m = (10y - 11)/(-5)。
现在，我们来分析不等式 x + y < 0：
将 x 的表达式代入 x + y < 0 中：
((m - 5 + 2y)/2) + y < 0
(m - 5 + 2y + 2y) / 2 < 0
(m - 5 + 4y) / 2 < 0
接下来，将 m 的表达式代入不等式中进行化简：
(((10y - 11)/(-5)) - 5 + 4y) / 2 < 0
((10y - 11) - 5(-5) + 4y) / 2 < 0
(10y - 11 + 25 + 4y) / 2 < 0
(14y + 14) / 2 < 0
7y + 7 < 0
7(y + 1) < 0
由此可得 y + 1 < 0，解得 y < -1。
综上所述，方程组的解满足 x + y < 0 的条件时，m 的取值范围为 m ∈ (-∞, (10y - 11)/(-5))]，其中 y < -1。