Question

请教各位两道高数题！

怎么验证该函数是其对应微分方程的解:
y''-7y'+12y=0, y=C_1e^(3x)+C_2e^(4x)

求该方程的通解或特解:
xydx+(1-x^2)dy=0
关于第一题的验证请给出详细过程（即将y, y', y''代入方程时的过程）

Answer 1

对于第一道题目：
只要求出y的一阶导数和二阶导数，带入方程
如果满足的话，就说明是对应方程的解
y'=3*C_1e^(3x)+4*C_2e^(4x)
y''=9*C_1e^(3x)+16*C_2e^(4x)
带入y''-7y'+12y=0
可算得满足条件
所以y=C_1e^(3x)+C_2e^(4x)是方程的解
{实际上这个解也是该方程的通解。
该方程为二阶齐次常微分方程
所 以需要两个特解线性叠加就可以得到通解
（特解为：e^(3x)、e^(4x) ）}

（2）：将关于x的移到方程的一边，关于y的移到方程的另一边。可以得到
xdx/（x^2-1）=dy/y
两边分别积分得到：
S{x/(x^2-1)}dx=S{1/y}dy
1/2*ln(x^2-1)+c=（lny）
不凡将常数c写成lnC表示
所以有y=根号下C(x^2-1)
该方程没有给出初始条件
所以只能给出通解
得不到特解（特解就是要确定常数C）

Answer 2

（1）
将y=C_1e^(3x)+C_2e^(4x) 代入方程，如果满足，则是方程的解。

（2）分离变量
xydx+(1-x²)dy=0
dy/y=xdx/(x²-1)
∫dy/y=∫xdx/(x²-1)
lny=(1/2)ln(x²-1)+lnC
y=C根号(x²-1)

Answer 3

第一个应该是把各阶导数都求出来吧！虽然有点麻烦！别的我想不出！
第二个；|Y|=（x^2-1）^2

Answer 4

1、
y＝C_1e^(3x)+C_2e^(4x)
y'＝3C_1e^(3x)＋4C_2e^(4x)
y''＝9C_1e^(3x)＋16C_2e^(4x)

代入微分方程，左边＝0＝右边

2、
记t＝x^2，则原方程化为：1/2×ydt＋(1－t^2)dy＝0，分离变量得
2dy/y＝dt/[(t^2-1)]
2lny＝1/2×ln[(t-1)/(t+1)]＋1/2×lnC
y^4＝C(t-1)/(t+1)
代入t＝x^2得

通解：y^4＝C(x^2-1)/(x^2+1)