Question

线性代数

填空题
1. 已知向量a1=(5,-2,4), a2=(0,1,K) 当K= 时, a1与a2正交

2. 矩阵A= 1 1 B=3 2 则2A+B= AB=
2 -1 0 1

3.方阵A= 1 0 0
12 3 0 则｜A｜= (A)-1=
3 6 2

4.矩阵A= 1 0 1 且X=AX-A2+E ,则X=
0 2 0
1 0 1

5.矩阵 22 31 与1 2 相似则X= Y=
Y X 3 4

6.矩阵A= 1 2 -1 则A-1=
0 1 1
0 1 0

7.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的轶为3, 已知N1N2N3是它的三个解向量,且

8.N1= 2 N2+N3= 1 该方程组的通解为=
3 2
4 3
5 4

9.行列式 -ab ac de =
bd –cd de
bf cf -ef

解答题
1.设a为n维列向量,aTa=1 令H=E-2aaT,证明H是对称的正交矩阵

2.设方阵A满足A2-5A+5E=0 求(A-2E)-1

3.设向量组a1=(1,1,1) a2=(1,2,3) a3=(1,3,t)
第一问题:t为何值时,向量组a1a2a3线性相关
第二问题:当向量组a1a2a3线性相关时,将其中一个向量用其余向量线性表示

4.设向量组a1a2a3线性无关, B1=a1, B2=a1+a2, B3=a1+a2+a3,试证向量组B1B2B3
也线性无关

5.A为何值时,方程组 (A-1)X1-2X3=A 有唯一解,无解,无穷多解?
(A-1)X2+2X3=-1
X1+2X2+(A-2)X3=2

并当有无穷多解时求出其通解

6.求正交变换X=PY,将二次型F=2X12+3X22+3X32+4X2X3化成标准形,并判别此
二次型是否正定?

Answer 1

我只会一点
1. 已知向量a1=(5,-2,4), a2=(0,1,K) 当K= 时, a1与a2正交
a1与a2正交
a1与a2垂直
a1*a2=0
0-2+4k=0
k=1/2

2. 矩阵
A=
1 1
2 -1
B=
3 2
0 1
则2A+B=
2A+B=
2 2
4 -2
+
3 2
0 1
=
5 4
4 -1

AB=
3 3
6 3

3.方阵A=
1 0 0
12 3 0
3 6 2
则｜A｜=6
(A)-1=
6 0 0
-24 2 0
63 -6 3

4.矩阵A= 1 0 1 且X=AX-A2+E ,则X=
0 2 0
1 0 1

5.矩阵 22 31 与1 2 相似则X= Y=
Y X 3 4

6.矩阵A= 1 2 -1 则A-1=
0 1 1
0 1 0

7.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的轶为3, 已知N1N2N3是它的三个解向量,且

8.N1= 2 N2+N3= 1 该方程组的通解为=
3 2
4 3
5 4

9.行列式 -ab ac de =
bd –cd de
bf cf -ef

解答题
1.设a为n维列向量,aTa=1 令H=E-2aaT,证明H是对称的正交矩阵

2.设方阵A满足A2-5A+5E=0 求(A-2E)-1

3.设向量组a1=(1,1,1) a2=(1,2,3) a3=(1,3,t)
第一问题:t为何值时,向量组a1a2a3线性相关
第二问题:当向量组a1a2a3线性相关时,将其中一个向量用其余向量线性表示

4.设向量组a1a2a3线性无关, B1=a1, B2=a1+a2, B3=a1+a2+a3,试证向量组B1B2B3
也线性无关

5.A为何值时,方程组 (A-1)X1-2X3=A 有唯一解,无解,无穷多解?
(A-1)X2+2X3=-1
X1+2X2+(A-2)X3=2

并当有无穷多解时求出其通解

6.求正交变换X=PY,将二次型F=2X12+3X22+3X32+4X2X3化成标准形,并判别此
二次型是否正定?

Answer 2

3题二问
A*才等于上面的(A)-1
(A)-1=A*/|A|
1 0 0
-4 1/3 0
21/2 -1 1/2

4.矩阵A= 1 0 1 且X=AX-A2+E ,则X=
0 2 0
1 0 1
x=
2 0 1
0 3 0
1 0 2
由X=AX-A^2+E得
（E-A)*X=E-A^2
E-A^2=
-1 0 -2
0 -3 0
-2 0 -1
E-A=
0 0 -1
0 -1 0
-1 0 0
所以
|0 0 -1| |-1 0 -2|
|0 -1 0|X=|0 -3 0|就可得出答案
|-1 0 0| |-2 0 -1|

5.矩阵 22 31 与1 2 相似则X= Y= 请教大家两矩阵相似是指什么东东
Y X 3 4
6.矩阵A= 1 2 -1 则A-1=
0 1 1
0 1 0
用初等变换法
|1 2 -1 1 0 0| |1 2 -1 1 0 0| |1 0 0 1 1 -3|
(A,E)=|0 1 1 0 1 0|>>|0 1 0 0 0 1|>>|0 1 0 0 0 1|
|0 1 0 0 0 1| |0 0 1 0 1 -1| |0 0 1 0 1 -1|
所以A-1=
|1 1 -3|
|0 0 1|
|0 1 -1|

Answer 3

我只会一点
1. 已知向量a1=(5,-2,4), a2=(0,1,K) 当K= 时, a1与a2正交
a1与a2正交
a1与a2垂直
a1*a2=0
0-2+4k=0
k=1/2

2. 矩阵
A=
1 1
2 -1
B=
3 2
0 1
则2A+B=
2A+B=
2 2
4 -2
+
3 2
0 1
=
5 4
4 -1

AB=
3 3
6 3

3.方阵A=
1 0 0
12 3 0
3 6 2
则｜A｜=6
(A)-1=
6 0 0
-24 2 0
63 -6 3

4.矩阵A= 1 0 1 且X=AX-A2+E ,则X=
0 2 0
1 0 1

5.矩阵 22 31 与1 2 相似则X= Y=
Y X 3 4

6.矩阵A= 1 2 -1 则A-1=
0 1 1
0 1 0

7.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的轶为3, 已知N1N2N3是它的三个解向量,且

8.N1= 2 N2+N3= 1 该方程组的通解为=
3 2
4 3
5 4

9.行列式 -ab ac de =
bd –cd de
bf cf -ef

解答题
1.设a为n维列向量,aTa=1 令H=E-2aaT,证明H是对称的正交矩阵

2.设方阵A满足A2-5A+5E=0 求(A-2E)-1

3.设向量组a1=(1,1,1) a2=(1,2,3) a3=(1,3,t)
第一问题:t为何值时,向量组a1a2a3线性相关
第二问题:当向量组a1a2a3线性相关时,将其中一个向量用其余向量线性表示

4.设向量组a1a2a3线性无关, B1=a1, B2=a1+a2, B3=a1+a2+a3,试证向量组B1B2B3
也线性无关

5.A为何值时,方程组 (A-1)X1-2X3=A 有唯一解,无解,无穷多解?
(A-1)X2+2X3=-1
X1+2X2+(A-2)X3=2

并当有无穷多解时求出其通解

6.求正交变换X=PY,将二次型F=2X12+3X22+3X32+4X2X3化成标准形,并判别此
二次型是否正定?
希望你能理解