Question

若x1和x2是关于x的方程 x^2 - (2k+1)x + k^2 + 1 = 0 的两个实数根,且x1 , x2都大于1.求实数k的取值范围.

Answer 1

首先 因为有2个实数根，所以判别式 b^2 - 4ac > 0， 因此
(2k+1)^2 - 4(k^2+1) > 0
4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 -4 > 0
4k -3 > 0
k > 3/4

x^2 - (2k+1)x + k^2 + 1 = 0 两根中 ，较小的一个根为
[(2k+1) - √(4k-3) ]/2

两根都大于1，则
[(2k+1) - √(4k-3) ]/2 > 1
(2k+1) - √(4k-3) > 2
(2k-1) > √(4k-3)

k > 3/4 , 所以 2k-1 > 0，所以上面的不等式可以两边同时平方，不等号方向不变。
(2k-1)^2 > 4k -3
4k^2 -4k + 1 > 4k -3
4k^2 - 8k + 4 > 0
k^2 - 2k + 1 > 0
(k-1)^2 > 0
所以 k ≠ 1

综上所述
k > 3/4 且 k ≠ 1

Answer 2

由韦达定理，且x1 , x2都大于1
x1+x2=2k+1>2
x1*x2=k^2+1>1
△=(2k+1)^2-4*(k^2+1)≥0
得k≥3/4