Question

已知a>0,b>0,0<x<1,求证(a^2/x)+(b^2/(1-x))大于等于（a+b)^2

高二数学题，最好不用反证法~

Answer 1

解法一:
(a^2/x)+(b^2/(1-x))=(a^2/x)+(b^2/(1-x))*[x+(1-x)]=(a^2*(x+1)/x)+
(b^2*x/(1-x))+a+a^2+b^2,对于前两项,利用基本不等式a+b>=2根号ab
即得证
解法二:
直接用柯西不等式,(a^2/x)+(b^2/(1-x))>=（a+b)^2/(x+1-x)

Answer 2

(a^2/x)+(b^2/(1-x))=
(a^2/x)+(b^2/(1-x)*(1-x+x)=a^2+b^2+a^2*(1-x)/x+b^2*x/(1-x)>=a^2+b^2+2*a*b=(a+b)^2