Question

非常非常难的一条几何题,高手请进!答对了＋ 50

如图,△ABC和△DEF是正三角形,连结AF，BD，CF。N是AF的中点，M是BD的中点，O是CE的中点。证明：三角形MNO是正三角形。 图：http://hiphotos.baidu.com/080509/pic/item/b60d8f66f53eec3caa184c55.jpg
要过程 答得好的有追加！！ p.s.说实话，我自己觉得自己挺笨的。。
题目没有说 EF平行于BC！！！！！！！！！

怎么说呢。。我算是高中的吧，可是一节课还没上呢

Answer 1

连接BE，CF，取BE，CF中点K，Q
连接KM，KO，QO，QN

KMB与BDE，KEO与BCE，OCQ与CEF，FNQ与ACF都相似（△省略），且相似比大比小都是2：1，又因为△ABC和△DEF是正三角形，所以KM＝OQ，KO＝QN，
KM（ED）所在直线与KO（BC）所在直线的夹角
＝NQ（AC）所在直线与QO（EF）所在直线的夹角
（能不能理解？可以当作是ED和BC都顺时针转了60度，夹角不变）
KMO全等于OQN，
延长KM，QN交于W，角W等于EO所在直线与AC所在直线的夹角为60度
所以三角形MNO是正三角形。

我的证明是在EF平行于BC的情况下进行的

Answer 2

可以用中点来做,利用中位线,不过有点复杂,图有点乱
连接FM.延长FM到Q,使MQ=FM,连接AQ,BQ
连接CM,延长CM到H,使MH=CM,连接EH,DH
(可以看出MQ为HE中位线,MN为AQ中位线<则再证AQ=HE即可)
在△DEH和△BQA中,
BQ=FD=DE
AB=BC=HD
再因为角FDE=角ABC,角MDF=角MBQ,角CBM=角HDM
所以角HDE=角ABQ
所以两个△全等,SAS.
这样就得到了两边了,第三边同理用中位线可得

其实看起来图有些复杂,辅助线很多,思想都是相同的
都是加倍延长后,用中位线证全等,试试看!

Answer 3

这一题用复数做显然是最简单的(复数的应用应该知道吧)
设A,B,C,D,E,F,M,N,O对应的复数分别是a,b,c,d,e,f,m,n,o
易知
a-b=(c-b)(cos60°+sin60°) ①
f-d=(e-d)(cos60°+sin60°) ②
m=0.5(b+d)
n=0.5(e+c)
o=0.5(a+f)
即证n-m=(o-m)(cos60°+sin60°)
即(a+f-b-d)=(e+c-b-d)(cos60°+sin60°)
①+②即得上式

Answer 4

呵呵，你好！这个问题大学书本中见过的！
我回去帮你看下！

Answer 5

连接BE，CF，取BE，CF中点K，Q
连接KM，KO，QO，QN