Question

一道超难数学问题(初三)

1.已知一个任意四边形ABCD
2.以它的每条边AB,BC,CD,DA为边长向外作四个正方形S1 S2 S3 S4
3.取每个正方形的对角线交点E,F,G,H
4.连接上下两个交点E,G和左右两个交点F,H,EG和FH交与点J
证明:EG=FH且EG垂直于FH.
我才上初三,所以希望高手用简单一点的知识来证明,谢谢了!!!
冯`奥伯用英文怎么说啊?

我好像找不到啊,请知道的粘贴一下,谢谢了!

Answer 1

我这个方法比较麻烦，不知道有没有简单点的！
基本思想就是将FH旋转90度得到F'H'，只要证明F'E‖GH'且相等，就可以得到F'EGH'是平行四边形，原题就能得到证明了。

四边形ABCD绕A点旋转90度，得新的四边形A'B'C'D',新四边形A'与A点重合，边A'B'与S1的一边重合
边B'C',D'A'外作四个正方形S'2 ,S'4
四个正方形S'2 ,S'4 的对角线交点F'、H'，连接F'H'，
因为FH绕A点旋转90度得到F'H'，所以FH⊥F'H'，且FH=F'H'
连接EF'、GH'，得四边形F'EGH'
连接B'F'、B'E,连接DG、DH'
连接AC，DH'=DA*二分之根号二 , DG=CD*二分之根号二
所以DH'/DG=DA/CD
∠ADH'=∠CDG=45度，所以∠ADC=∠H'DG
所以△DGH'与△DCA等比，所以GH'=AC*二分之根号二,且GH'与AC成45度角
B'E=AB*二分之根号二 ,B'F'=BC*二分之根号二
所以B'E/AB=B'F'/BC=二分之根号二
又∠C'B'F'=∠EB'A'=45度,所以∠EB'F'=∠A'B'C'=∠ABC (A'与A点重合)
所以△EB'F'与△ABC等比,所以EF'=AC*二分之根号二,且EF'与AC成-135度角(角度的负值是相对与GH'与AC成的角)
所以 GH'=EF'，且GH'与EF'成的角度是45-（-135）=180度，就是GH'‖EF'
所以四边形F'EGH'是平行四边形
所以GE=F'H',GE‖F'H', 又F'H'=FH且F'H'⊥FH
得到结论：GE=FH，GE⊥FH

Answer 2

这应该是冯`奥伯定理，对于凹凸四边形，甚至三点共线的四边形多适用，你自己在网上找找吧，把冯`奥伯翻译成英语然后再找，查中文找不到

Answer 3

用解析几何！能证出来的！我当年就证过。但是明显是有更好的方法的，当时我知道，现在忘了……

Answer 4

有,在我们这里这是初三的几何基础题,不是很难,注意运用图形来解就没有问题了.多练习一下就熟能生巧了!!