Question

设函数f[x]=ax^2-2x+2对于1<x<4,都有f[x]>0,求a的取值

Answer 1

a=0
f(x)=2-2x,对于1<x<4,不是都有f[x]>0所以a=0不成立

a不等于0
f(x)=a[x-(1/a)]^2+2-(1/a)

a<0，f(x)开口向下，
对称轴1/a在（1，4）左边，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值
所以f(4)>＝0即a>=3/8，和a<0矛盾

a>0
i) 对称轴1/a在（1，4）左边,1/a<=1 即，a>=1时候，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在x=4取最小值,所以f(4)>＝0即a>=3/8
所以a>=1成立

ii) 对称轴1/a在（1，4）右边,1/a>=4 即，a<=1/4时候，f(x)在(1,4)上单调递增，f(x)在x=1取最小值,所以f(1)>＝0即a>=0
所以0<a<=1/4成立

iii)对称轴1/a在（1，4）中间,1<=1/a<=4 即，1/4<=a<=1时候，f(x)在x=1/a取最小值,所以f(1/a)=2-1/a>＝0即a>=1/2
所以1/2<=a<=1成立

综上所述,a的取值范围是(0,1/4]并上[1/2,正无穷)