Question

若不等式1/（n+1) + 1/(n+2) +1/(n+3) +……+1/（3n+1）>a/24对一切正整数n都成立，求a的最大值

若不等式1/（n+1) + 1/(n+2) +1/(n+3) +……+1/（3n+1）>a/24对一切正整数n都成立，求a的最大值

Answer 1

f(n)=1/（n+1) + 1/(n+2) +1/(n+3) +……+1/（3n+1）
f(n+1)=1/（n+2) + 1/(n+3) +1/(n+4) +……+1/[3(n+1)+1]
f(n+1)-f(n)=1/（n+1) - 1/(3n+2)-1/(3n+3)-1/(3n+4)>0
所以函数f(n)对于n为正整数时为单调增函数
所以原不等式等效于a/24<1/2+1/3+1/4=13/12
即a<26
如果a取整数为25

Answer 2

(n)=1/（n+1) + 1/(n+2) +1/(n+3) +……+1/（3n+1）
f(n+1)=1/（n+2) + 1/(n+3) +1/(n+4) +……+1/[3(n+1)+1]
f(n+1)-f(n)=1/（n+1) - 1/(3n+2)-1/(3n+3)-1/(3n+4)>0