Question

数列证明(高中数学)

1)由数列 1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,...前4项的值,推测第n项
an=1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+3+2+1的结果,并给出证明.

2)已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项的和.设k∈N,
Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等差数列吗?(k,2k,3k这些是S的下标,像a1,a2,a3的意思)
但我想问下第二题
为什么用公式 Sn = na1 + n(n-1)d/2
得出来的结果却显示它不是等差数列呢?
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原来自己把式子弄错了,怪不得,算不对... =.=|||

Answer 1

an=1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+3+2+1
=2*[1+2+...+(n-1)]+n
=(n-1)n+n
=n^2
an=n^2

2)
Sk=a1+a2+...+ak
S2k-Sk=a(k+1)+a(k+2)+...+a2k
S3k-S2k=a(2k+1)+a(2k+2)+...+a3k

Sk+(S3k-S2k)
=(a1+a2+...+ak)+[a(2k+1)+a(2k+2)+...+a3k]
=[a1+a(2k+1)]+[a2+a(2k+2)]+...+(ak+a3k)
=2a(k+1)+2a(k+2)+...+2a2k
=2[a(k+1)+a(k+2)+...+a2k]
=2(S2k-Sk)
是成等差数列

Answer 2

1、1,4,9,16

an=n^2

证明：

an=1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+3+2+1

=（1+2+3+...+(n-1)+n）+（(n-1)+...+3+2+1）

=n(n+1)/2+n(n-1)/2

=n^2

Answer 3

1]
an=2*[(n-1)n/2]+n=n^2

2]
sn=An^2+bn+c
sk=Ak^2+bk+c

S2k-Sk=3Ak^2+bk

S3k-S2k=5Ak^2+bk

显然不是的

Answer 4

1）解：由题意可知 a1=1*1=1;a2=2*2=4;a3=3*3=9;a4=4*4=16.
由此我们假设an=n*n.
则an-a(n-1)=1+2+3+...+(n-1)+n+(n-1)+...+3+2+1-1+2+3+...+(n-2)+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1=n+n-1=2n-1=n^2-(n-1)^2
于是原式得证。
2）解：设等差数列的差为d,
则S2k-Sk=a(k+1)+a(k+2)+....a2k
S3k-S2k=a(2k+1)+a(2k+2)+....a3k
如此，则
(S3k-S2k)-(S2k-Sk)=(a(2k+1)-a(k+1))+(a(2k+2)-a(k+2))+...+(a3k-a2k+3)=kd+kd+...kd=nkd
同理可证Snk-S(n-1)k=nkd
由此可知所求数列为等差数列

Answer 5

设sn=an"2+bn，则：sp=ap"2+bp=q，sq=aq"2+bq=p，两式相减得：a(p"2-q"2)+b(p-q)=q-p，因p不=q，故a(p+q)+b=-1所以：s(p+q)=a(p+q)"2+b(p+q)=(p+q)[a(p+q)+b]=(p+q)*(-1)=-(p+q)