Question

在△ABC中，已知sinA:sinB:=√2：1，c^2=b^2+√2bc,则三内角A、B、C的度数依次是

在△ABC中，已知sinA:sinB:=√2：1，c^2=b^2+√2bc,则三内角A、B、C的度数依次是

Answer 1

解：
因为c^2=b^2+√2bc
由正弦定理，
sin^2C-sin^2B=√2sinBsinC
sin^2C-sin^2B=√2(cos(B-C)-cos(B+C))/2
因式分解，得
（sinB+sinC)(sinC-sinB)=√2(cos(B-C)-cos(B+C))/2
和差化积，得
2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]*2cos[(B+C)/2]sin[(B-C)/2=√2(cos(B-C)-cos(B+C))/2
sin（B+C）sin（B-C)=√2(cos(B-C)-cos(B+C))/2
在△ABC中,由诱导公式

Answer 2

由正弦定理，a/sinA=b/sinB,于是有a:b=sinA:sinB:=√2：1所以有a=√2b,由余弦定理，有a^2=b^2+c^2-2bccosA,因为a=√2b所以有b^2=c^2-2bccosA,又c^2=b^2+√2bc，故有cosA=√2/2可以得到A=45.那么有sinB=1/2，于是得到B=30，（B=150舍去,因为要求A+B<180)因而有C=105