Question

在三角形ABC中，角ABC=60度，角ACB=40度,P为内一点,角PBA=40度,角PAB=70度,求证CP垂直于AB

Answer 1

楼上的方法是比较复杂,我认为这个题目主要考察的三角形的角和三角形内角和.
由此我推荐使用反证法:
由题目可知:
角A=80度 角B=60度 角PBA=40度 角PAB=70度
由三角形内角和定理可知:
角C=40度 角APB=70度
假设CP交AB于D点,角ADC=90度,
则:角CDB=角PDB=90度,
角APD=180-角ADP-角PAD=180-90-70=20度
角BPD=180-角BDP-角PBD=180-90-40=50度
而:角APD+角BPD=20+50=70度=角APB 符合与已知条件,证明假设成立.
所以角ADC=90度,即CP垂直于AB.

Answer 2

给个平面几何加一点简单三角函数的方法
易知角PAC等于10度，欲得到角ACP等于10度，只需证AP等于PC
以AP边向三角形外作正三角形APD，连接BD
容易发现角BPA=角BAP，从而BP=BA
所以三角形BAD全等于三角形BPD，角ABD等于角PBD等于角CBP20度，
正弦定理：BD/sin130=AB/sin30， BC/sin80=AB/sin40，
BD/BC=sin50*sin40/（sin30*sin80）=2*cos40*sin40/sin80=1
三角形BPD全等于三角形BPC，边PD等于边PC，
所以边AP等于边PC，即有CP垂直于AB

Answer 3

给一个稍微复杂一些的办法：
容易发现角BPA=角BAP，从而BP=BA
作角ABD=20度，使得D在AC上，则有BD=BA
在BC上取E使得BE=BA，则ABE为正三角形，连接PD、PE。
这时BP、BD为角EBA的三等分线，且BP=BA=BD=BE，所以三个等腰三角形BEP、BPD、BDA全等。所以PE=PD。
由于角BEA=60度，角BEP=80度，所以角AEP=20度。
由于角PDB=角ADB=80度，所以角CDP=20度=角AEP。
求出三角形DBC各个角的大小，可知DC=DB，所以DC=DB=BE=EA（三角形BEA是正三角形）。
所以三角形CPD与三角形APE全等。
所以角PCA=10度，即有CP垂直于AB。

注：liaocw06的方法也很好，wrf2003的方法不妥，由假设没推出矛盾不说明假设成立，至少在数学领域是这样。