Question

如图,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的点

如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处， (1)求证：B′E=BF； (2)设AE=a，AB=b, BF=c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明. 过程。

Answer 1

三角形A'B'E全等于三角形ABE
角ABE=角A'B'E
故角AEB=角EB'F
故BE平行于B'F
B'E平行于BF
故B'EBF是平行四边形，
又B'F=BF,故B'EBF是棱形
故B′E=BF
BF=BE=c
BE^2=AB^2+AE^2
故c^2=a^2+b^2

Answer 2

（1）证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B'EF，
∴B′F=BE，
∴B′E=BF；

（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：
（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．
证明：连接BE，
由（1）知B′E=BF=c，
∵B′E=BE，
∴四边形BEB′F是平行四边形，
∴BE=c．
在△ABE中，∠A=90°，
∴AE2+AB2=BE2，
∵AE=a，AB=b，
∴a2+b2=c2；

（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．
证明：连接BE，则BE=B′E．
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c，
在△ABE中，AE+AB＞BE，
∴a+b＞c．

Answer 3

连接BE，则有，∠B1EA1+∠A1EA=180度
又因为是对折上去的，所以
B1A1=BA，
A1E=AE，
∠B1A1E=∠EAB=90度，
A1E‖B1F
所以三角形BAE与三角形B1A1E全等
则∠BEA=∠B1EA1，即
∠BEA+∠A1EA=180度，即点A1，E，B三点共线，
所以BE‖B1F，而B1E‖BF，所以四边形B1EBF为平行四边形。
所以B1E=BF
补充回答：
（2）解
∵∠A1EB1=∠AEB
四边形A1B1FE是通过四边形ABFE折叠而得到的,且△B1FE≌△BFE
∴A1E=AE
B1E=BE
∴△A1EB1≌△AEB
(S.A.S)
∵AE=a,AB=b
BF=c
∴AE=A1E=a
AB=A1B1=b
EB1=BF=C
∵△A1EB1为Rt△
∴(A1E)^2+(A1B1)^2=(EB1)^2
∴a,b,c满足a^2+b^2=c^2

Answer 4

证明：过B′向BC做垂线，垂足是G,则
B′G=CD=A′B′
两个都是直角三角形，直角相等
还有角A′B′E=角B′GF
所以两个三角形全等
所以B′E=B′F=BF

2)BF=B′F=B′E=BE=c
三角形EAB是直角三角形，所以a^2+b^2=c^2

Answer 5

解：根据题意，结论①B′E=BF正确； 连接BE， 根据折叠可知：BF=B′F，∠BFE=∠B′FE， 又∵EF=EF ∴△B′EF≌△BEF（SAS）， ∴B′E=BE，∠B′FE=∠BFE， 又∵AD∥BC， ∴∠B'EF=∠BFE， ∴∠B′FE=∠B′EF， ∴B′F=B′E， ∴B′E=BF， ∴BE=B′F=BF=c， 在Rt△ABE中，根据勾股定理可得，a2+b2=c2；