Question

求证1/2+1/3+...+1/n<lnn<n+1/2+1/3+...+1/(n-1)

已知f(x)=-1+1/x +lnx>0
求证1/2+1/3+...+1/n < lnn <n+1/2+1/3+...+1/(n-1) n为正整数
最好不要涉及级数，就用高中数学知识求解。急求

Answer 1

-1≤x≤1,2≤n
0≤1-x≤2
(1-x)^(n-1)≤2^(n-1)
(1-x)^n≤(1-x)*2^(n-1)
同样
(1+x)^n≤(1+x)*2^(n-1)
所以
(1-x)^n+(1+x)^n≤(1-x)*2^(n-1)+(1+x)*2^(n-1)=2^n

Answer 2

原函数可化为
ln(x)>(x-1)/x
令x=(n 1)/n
得
ln((x 1)/x)>1/(x 1)
则有
lnn=ln(2/1) ln(3/2) ln(4/3) ... ln(n/(n 1))>1/2 1/3 ... 1/n
同理，可证右边