Question

函数f(x)=|log2x|，当0＜m＜n时，有f(n)=f(m)=2f(m/2+n/2). (1)求mn的值 (2)求证：1＜（n-2）²＜2

Answer 1

1
f(x)=|log2x|
当0<x<1时，log2x<0,
f(x)=-log2x，f(x)递减
当x>1时，log2x>0,
f(x)=log2x,f(x)递增
因为f(m)=f(n),0<m<n
所以0<m<1,f(m)=-log2m,
n>1,f(n)=log2n
所以-log2m=log2n
那么log2m+log2n=log2(mn)=0
所以mn=1
2
根据均值定理
m/2+n/2>1
所以
2f(m/2+n/2)=2log2(m/2+n/2)=log2(m/2+n/2)^2=log2n
那么(m/2+n/2)^2=n
所以m^2+n^2+2mn=4n
即 n^2-4n=-m^2-2
两边加上4
（n-2）²＜2-m²
∵0<m<1
∴0<m²<1
∴1<2-m²<2
即1＜（n-2）²＜2