Question

已知两直线l1,l2分别经过点A(3,0),点B(-1,0),并且当两直线同时相交于y负半轴的点C

时，恰好有l1垂直于l2。经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l2交于点K（如图所示）。1）求抛物线的解析式；2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的3/2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）解法1：由题意易知：△BOC∽△COA，∴，即，∴，∴点C的坐标是（0，），由题意，可设抛物线的函数解析式为，把A（1，0），B（﹣3，0）的坐标分别代入，得，解这个方程组，得，∴抛物线的函数解析式为．解法2：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，又∵OB=3，OA=1，AB=4，∴，∴点C的坐标是（0，），由题意可设抛物线的函数解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，）代入函数解析式得，所以，抛物线的函数解析式为；（2）解法1：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF．理由如下：可求得直线l1的解析式为，直线l2的解析式为，抛物线的对称轴为直线x=1，由此可求得点K的坐标为（﹣1，），点D的坐标为（﹣1，），点E的坐标为（﹣1，），点F的坐标为（﹣1，0），∴KD=，DE=，EF=，∴KD=DE=EF．解法2：截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF，理由如下：由题意可知Rt△ABC中，∠ABC=30°，∠CAB=60°，则可得，，由顶点D坐标（﹣1，）得，∴KD=DE=EF=；（3）当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．理由如下：（i）连接BK，交抛物线于点G，易知点G的坐标为（﹣2，），又∵点C的坐标为（0，），则GC∥AB，∵可求得AB=BK=4，且∠ABK=60°，即△ABK为正三角形，∴△CGK为正三角形∴当l2与抛物线交于点G，即l2∥AB时，符合题意，此时点M1的坐标为（﹣2，），（ii）连接CD，由KD=，CK=CG=2，∠CKD=30°，易知△KDC为等腰三角形，∴当l2过抛物线顶点D时，符合题意，此时点M2坐标为（﹣1，），（iii）当点M在抛物线对称轴右边时，只有点M与点A重合时，满足CM=CK，但点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形，综上所述，当点M的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）时，△MCK为等腰三角形．解析: