Question

如图，在直角梯形ABCD中，已知AD平行于BC，角A等于90度，AB等于AD等于6，DE垂直于DC交AB于点E，

（接上）DE平分角EDC交BC于点F，连接EF。 （1）证明：EF等于CF； （2）当tan∠ADE等于三分之一时，求EF的长。

Answer 1

（1）

如图，作 DG⊥BC交BC于G

∵ ABCD是直角梯形，AD=AB，AD∥BC

∴ ABGD是正方形

∴ DG=AB=AD，∠ADG=90°

∵ ∠ADE = ∠ADG-∠EDG = 90°-∠EDG

而 ∠GDC = ∠EDC-∠EDG = 90°-∠EDG 

∴ ∠ADE =∠GDC

在 △ADE 和 △GDC 中，∠A=∠DGC = 90°，∠ADE =∠GDC，AD=DG

∴ △ADE ≌ △GDC （A，S，A）

∴ DE=DC

∵ DF 是 ∠EDC 的平分线

在 △EDF 和 △CDF 中，∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF=DF

∴ △EDF ≌ △CDF （S，A，S）

∴ EF=CF

（2）

设EF=CF=x

∵ tan∠ADE = AE/AD = 1/3

而 AD =AB = 6

∴ AE =2，GC=AE=2

∴ EB =AB-AE = 6-2 =4，BC = BG+GC = 6+2 =8

∴ BF =BC-CF = 8-x

在 直角三角形BEF中，由勾股定理，有  16+(8-x)²=x²

即 16+64-16x+x² =x²

解得 x = 5

所以 EF=5

~ 满意请采纳，不清楚请追问。

--------------------

~ 梳理知识，帮助别人，愉悦自己。

~ “数理无限”团队欢迎你

~ http://zhidao.baidu.com/team/view/%CA%FD%C0%ED%CE%DE%CF%DE

Answer 2

（1）证明：因为∠A等于90°，AB=AD=6，

∴作DG⊥BC于点G，可得正方形ABGD，∠ADG=90°

因为DE⊥DC交AB于点E，∴∠ADE=∠CDG=90°-∠EDG

又因为∠A=∠DGC=90°

∴△ADE≅△GDC，∴DE=DC，

因为DE平分∠EDC，DF公共，所以△DEF≅△DCF

∴EF=CF

（2）当tan∠ADE=(1/3)时，得AE：AD=1：3，又AD=AB=6

所以AE=2，BE=4，由（1）知CG=AE=2，设EF=x，

则FG=FC-GC=x-2，BF=6-FG=8-x，在Rt△BEF中：

x平方=4平方+（8-x）平方

解得x=5，EF长为5.