Question

cosx的n次方积分

Answer 1

解答过程如下：

Let Im,n=∫(sinx)^baim*(cosx)^ndx

then Im,n=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-

∫(sinx)[(sinx)^m*(cosx)^(n-1)]'dx

=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-

∫[m(sinx)^m*(cosx)^n-(n-1)(sinx)^(m+2)*(cosx)^(n-1)]dx

=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-mIm,n+(n-1)Im+2,n-2

so (m+1)Im,n=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)+(n-1)Im+2,n-2

用此递推公式求解

sin(ax)*cos(bx)

=(1/2)*[sin(a+b)x+sin(a-b)x]

so ∫sin(ax)*cos(bx)dx

=-(1/2)*[cos(a+b)x/(a+b)+cos(a-b)x/(a-b)]+C

扩展资料

记忆规律

1、公式中因式每项的分母从n开始，每项减2，直到1；

2、公式中因式每项的分子从n-1开始，每项减2，直到1；

3、n为偶时，最后乘π/2；n为奇时，最后乘1（换而言之，也可视为不再用乘）。

5、形象记忆法：从n开始写分数，可以视为火箭发射倒数计时，成功数到1则视为点火发射成功，乘上二分之派。

Answer 2

我参考了一下其他人的证明过程，希望对您有帮助！
Let Im,n=∫(sinx)^m*(cosx)^ndx
then Im,n=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-
∫(sinx)[(sinx)^m*(cosx)^(n-1)]'dx
=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-
∫[m(sinx)^m*(cosx)^n-(n-1)(sinx)^(m+2)*(cosx)^(n-1)]dx
=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)-mIm,n+(n-1)Im+2,n-2
so (m+1)Im,n=(sinx)^(m+1)*(cosx)^(n-1)+(n-1)Im+2,n-2
用此递推公式求解
sin(ax)*cos(bx)
=(1/2)*[sin(a+b)x+sin(a-b)x]
so ∫sin(ax)*cos(bx)dx
=-(1/2)*[cos(a+b)x/(a+b)+cos(a-b)x/(a-b)]+C