Question

如图,将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角α(0°<α≤45°)得正方形AB'C'D'，C'B'交C

D于点F，C'A交CD于点E。（1）当α为多少度时，△CC'E为等腰三角形；（2）求证：CC'∥BD'（3）当α=45°时，请在备用图中画出相应的图形，连接AF,猜想AF与CC'的数量关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：(2)   ∵AB=AD'     ∴  ∠5=∠6

          ∵ ∠B=90° =∠D'  ∴∠CBD'=∠C'D'B  ∴BCC'D'是等腰梯形  ∴CC'∥BD'

(1）求∠4

∵∠2'=∠CEC'=∠ BAE =∠3+45°    ∵∠CC'A=∠BGA=∠CC'B+45° =∠6+ ∠GAD'=∠6+45°

∵CC'=CE  ∴∠CEC'=∠CC'A=∠3+45°=∠6+45°  ∴∠3=∠6 =∠5=∠4   

∵∠3+∠6 +∠5+∠4 +∠B'AD=180°=4∠4+45°+∠EAD    ∴4∠4+∠EAD=135°

∵∠EAD=45°-∠4    ∴4∠4+45°-∠4=135°    3∠4=90°   ∠4=30° 

（3）

∵AC=AC'   ∴∠ACC'=∠AC'C  ∴∠ACC'-45°=∠AC'C-45° ∴∠DCC'=∠B'C'C

∴ΔDCC'≌ΔB'C'C    ∴B'C=DC'

∵∠B'CF=45° =∠B'FC=∠C'FD=∠FC'D    B'C=DC'

 ∴B'C=DC'=B'F=DF   ∴ΔBCF≌ΔDFC'  ∴CF=FC'   ∴∠FCC'=∠FC'C

∵∠CFC'=180°-45°=135°  ∴∠FCC'=∠FC'C=22.5°

∵CF=C'F  AC=AC'   ∠ACF=∠AC'F   ∴ΔACF≌ΔAC' F  ∴∠CAF=∠C'AF=22.5°

∵AD=CD    ∠CAF=∠C'AF=∠C'CD=∠FAD=22.5°      ∠ADF=∠CDC'=90°

∴ΔADF≌ΔCDC'    ∴CC'=AF