Question

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA垂直于平面ABCD,PA=√3，AB=1

已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA垂直于平面ABCD,PA=√3，AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E,G,H分别是BC,PC,AD的中点。求证:平面PAE垂直于平面PDE。

Answer 1

郭敦顒回答：

∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA垂直于平面ABCD,PA=√3，AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E是BC的中点，

∴∠ABC=60°，AB=BE=EC=CD=1，∠BAE=∠BEA=60°，∠EAD=60°，

∴AE=AB=BE=1，

∴∠BCD=120°，∠CED=∠CDE=30°，∴∠AED=180°－60°－30°=90°，

∵在Rt⊿PAE中，PA⊥AE，AE=1，PA=√3，∴PE=√（1+3）=2

在Rt⊿PAD中，PA⊥AD，AD=2，PA=√3，∴PD=√（4+3）=√7，

在Rt⊿AED中，∠AED=90°，∠EAD=60°，AD=2，PAE=1，∴DE=√3

在△PED中，PE=2，PD=√7，DE=√3，∴PD²=PE²+DE²，∴DE⊥PE，

又DE⊥AE，∴平面PAE垂直于平面PDE。

 

                   P

 

 

 

              A                   D

 

 

 

        B         E        C

 

Answer 2

AB=1,AD=2,∠BAD=120°,E是BC的中点，
∴BE=1，∠B=60°，
∴AE=BE=1=AD/2，∠DAE=60°，
∴∠AED=90°，
PA垂直于平面ABCD，
∴PA⊥DE,
∴DE⊥平面PAE,
∴平面PAE⊥平面PDE.