Question

已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1，的离心率为1/2，椭圆C的右焦点F和抛物线G：y2=4x的焦

点相同。1，求椭圆C的方程。

Answer 1

1) F(-c,0) B1(0,-b) B2(0,b)
向量FB1=(c,-b)
向量FB2=(c,b)
向量FB1*向量FB2=c^2-b^2=2b^2 c^2=3b^2 a^2=b^2+c^2=4b^2
过点A(-2,-1)
4/4b^2+1/b^2=1 b^2=2 b=√2
a^2=8 a=2√2
椭圆方程x^2/8+y^2/2=1
(2) 过点A的直线L y=k(x+2)-1
x^2+4y^2=8
x^2+4(kx+2k-1)^2-8=0
(1+4k^2)x^2+8k(2k-1)x+4(4k^2-4k-1)=0
x1=-2 x2=(-8k^2+8k+2)/(1+4k^2)
y2=(4k^2+4k-1)/(1+4k^2)
Q(x2,y2)
R(0,2k-1)
过原点O且平行L的直线 y=kx
x^2+4y^2=8
x=2√2/√(1+4k^2) y=2k√2/√(1+4k^2)
AQ=(x2+2,y2+1)=((8k+4)/(1+4k^2)，(8k^2+4k)/(1+4k^2))
AR=(2,2k)
OP=(2√2/√(1+4k^2)，2k√2/√(1+4k^2))
AQ*AR=(16k+8)/(4k^2+1)+(16k^3+8k^2)/(4k^2+1)
3OP^2=3(8+8k^2)/(1+4k^2)=(24k^2+24)/(1+4k^2)
16k^3+8k^2+16k+8=24k^2+24
k^3-k^2+k-1=0
k^2(k-1)+(k-1)=0
(k-1)(k^2+1)=0
k=1
直线L的方程 y+1=x+2
y=x+1

Answer 2

y^2=4x的焦点G(1,0)
那么椭圆C的焦点为(1,0),
则c=1,离心率e=c/a=1/2,
故a=2,b^2=a^2-c^2=3
∴椭圆C的方程为x^2/4+y^2/3=1