Question

求由参数方程x=arctant,y=ln(1+t^2)所表示的函数y=y(x)在点t=1对应点的切

求由参数方程x=arctant,y=ln(1+t^2)所表示的函数y=y(x)在点t=1对应点的切线方程和法线方程？

Answer 1

dx=1/(1+t^2)*dt ，dy=2t/(1+t^2)*dt ，
所以切线斜率为 k=dy/dx=2t |(t=1) = 2 ，
又切点坐标为 x=arctan1=π/4 ，y=ln(1+1)=ln2 ，
所以切线方程为 y-ln2=2*(x-π/4) ，
法线方程为 y=ln2= -1/2*(x-π/4) 。

追问

那个点我觉得应该写成(派/4+k派,ln2)，但是这样很复杂

追答

你弄错了，arctanx 的值域是（-π/2，π/2），不存在加 kπ 的事情。

追问

哦。我懂了。谢谢！

再问一题，嘿嘿。设f(x)为可导函数，且满足条件lim(x→0)[f(1)-f(1-x)]/2x=-1,求曲线y=f(x)过点(1,f(1))的切线方程与法线方程？f(1)怎么算？

追答

那个等式只能说明函数在 x=1 处的导数为 -2 （把分母的 2 乘过来），也就是切线斜率为 -2 ，
但没有 f(1) 的值，无法求切线方程。条件不足啊。

追问

汗，，，那是我们老师出的题，题应该是没错的，我也是算到了斜率就算不走了，，，，

追答

老师也是人，也有犯错的时候啊。
给你几个函数，你可检验下是否满足等式：f(x)= -2x-1 ；f(x)= -x^2+1 ；f(x)=x^2-4x+1。
它们都满足已知等式，但 f(1) 分别为 -3、0、-2 。