Question

高中数学抛物线题目

第18道，要过程

Answer 1

郭敦顒回答：
已知F是抛物线y=（1/4）x²的焦点，P是抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（A，x²=2y －1）。
将抛物线y=（1/4）x²变换为标准方程的形式；x²=4y，2p=4，p=2，
∵抛物线标准方程x²=2py的焦点坐标是（0，p/2），
∴焦点F的坐标是F（0，1）
线段PF中点的轨迹方程是抛物线，设为y= ax²+ bx+c，
原抛物线，当x=0时，y=0，PF中点A的坐标是A（0，1/2）；
当x=2时，y=1，PF中点B的坐标是B（1，1）；
当x=4时，y=4，PF中点C的坐标是C（2，5/2）；
当x=6时，y=9，PF中点D的坐标是D（3，5）；
将A（0，1/2），B（1，1），C（2，5/2）的坐标值分别代入y= ax²+ bx+c得，
1/2= c
1= a+ b+1/2，a+ b=1/2 （1）
5/2=4a+2b+1/2，4a+2b=2 （2）
（2）－2（1）得，2a=1，a=1/2，
b=1/2－a=1/2－1/2=0，
∴线段PF中点的轨迹方程是y= （1/2）x² +1/2，或表达为： x²=2y －1，
将D（3，5）的坐标值代入上方程检验得y=5，
（1/2）x² +1/2=9/2+1/2=5，无误。
∴选项是A，x²=2y －1。

Answer 2

由已知得F(0,1)，设PF中点为（x，y），则P（2x，2y-1）。
而P在抛物线上，所以代入抛物线解析式得：
2y-1=1/4(2x)^2
化简得：2y-1=x^2
选A