Question

有关向量的问题。

过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB和AC于点D和E，若向量AD=x向量AB,向量AE=y向量AC，且x,y≠0，试求1/x+1/y的值。

Answer 1

设ΔABC的重心为G
AE=xAB,AF=yAC,AG=1/3(AB+AC),
则FE= AE –AF= xAB-yAC,
GE= AE –AG= (x-1/3)AB-1/3AC
由E,F,G三点共线得 向量FE= t GE，
x=t*[1/3(x-3)],-y-=t*(-1/3)
消去t得1/x+1/y=3

【另法】
过ΔABC的重心G作一条直线分别交AB,AC于D，E,延长AG交BC于F,
则向量AB+AC=2AF=3AG.①
设DG/GE=m/(1-m),0<m<1.则
（1-m)DG=mGE,
∴（1-m)(AG-AD)=m(AE-AG)
∴AG=(1-m)AD+mAE②
若向量AD＝x向量AB。向量AE=y向量AC，（xy≠0），
则AB=(1/x)AD,AC=(1/y)AE③
把②、③代入①，(1/x)AD+(1/y)AE=3(1-m)AD+3mAE,
AD与AE不共线，
∴1/x=3(1-m),1/y=3m,
∴1/x+1/y=3.