Question

如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上的点，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P

接上，交CD于点F，求证：AE=EP；（2）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由

Answer 1

1、∵ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠FCE=90°

做BG=BE，连接GE，那么AG=EC

∴△BEG是等腰直角三角形

∴∠BGE=45°，那么∠AGE=135°

∵CP平分∠BCD外角=90°

∴∠DCP=45°

那么∠ECP=∠DCB+∠DCP=90°+45°=135°

∴∠AGE=∠ECP=135°

∵∠AEP=90°

那么∠AEB+∠CEP=90°

又：∠GAE+∠AEB=90°

∴∠GAE=∠CEP

∴△AGE≌△ECP(ASA)

∴AE=EP

 

2、做DM∥EP，交AB于M，交AE于N

∴∠AND=∠AEP=90°

∵∠ADN+∠NAD=90°

∠BAE+∠NAD=90°

∴∠BAE=ADN=∠ADM

∵AD=AB，∠ABE=∠DAM=90°

∴△ABE≌△ADM(ASA)

∴DM=AE=EP

∵DM∥EP

∴四边形DMEP是平行四边形

∴存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形