Question

求微分方程y"-y'-2y=4e∧2x的通解

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Answer 1

求微分方程y"-y'-2y=4e^(2x)的通解
解：先求齐次方程y''-y'-2y=0的通解：
其特征方程r²-r+2=(r-2)(r+1)=0，有相异二实根：r₁=-1；r₂=2；
因此其通解为y=C₁e^(-x)+C₂e^(2x)；
下面再求一特解y*:
设y*=axe^(2x)；y*'=ae^(2x)+2axe^(2x)=（a+2ax)e^(2x)；
y*''=2ae^(2x)+2(a+2x)e^(2x)=(4a+4x)e^(2x)；
代入原式得(4a+4x-a-2ax-2ax)e^(2x)=3ae^(2x)=4e^(2x)
故得a=4/3；于是得特解为y*=(4/3)xe^(2x)
于是得原方程的通解为y=C₁e^(-x)+C₂e^(2x)+(4/3)xe^(2x).

Answer 2

1. 齐次通解Y
特征方程r²-r-2=0
(r+1)(r-2)=0
r1=-1,r2=2
Y=C1e^(-x)+C2e^2x
2. 求出1个特解y*
因为λ=2，是一重根
所以
设特解形式为y*=axe^2x
代入解出a即可，自己做
3.通解
y=Y+y*