Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边，若a=2bcosC，则此三角形为什么不可以是直角三角形?

可以根据b=c证明出它是等腰三角形，但它有可能是等腰直角三角形吗?

Answer 1

a=2bcosC
由正弦定理得sinA=2sinBcosC
sin(B+C)=2sinBcosC
sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC
sinBcosC-cosBsinC=0
sin(B-C)=0
B、C为三角形内角
0<B<π 0<C<π
-π<B-C<π，在区间(-π，π)上只有sin0=0
B-C=0
B=C
b=c
三角形是等腰三角形。
当然三角形可能是等腰直角三角形，但是，由已知条件，只能推出B=C，不确定A是否等于π/2，所以结论是等腰三角形。
推导出的结论只能是确定的结论，对于A是否等于π/2，缺乏已知条件支持，因此结论不能说是等腰直角三角形。

Answer 2

若是等腰直角三角形，由b=c推出夹角C为直角，则cos∠C=0，则题设a=2bcos∠C=0，不是三角形。这说明∠C不能为90°

Answer 3

证明：a=2bcosC
正弦定理：sinA=2sinBcosC
∴sin(B＋C)=2sinBcosC
∴cosBsinC=sinBcosC
∴sin(B－C)=0
∴B=C
答案选C
题意“一定是”表明充要条件的逻辑性

Answer 4

证明：a=2bcosC
正弦定理：sinA=2sinBcosC
∴sin(B＋C)=2sinBcosC
∴cosBsinC=sinBcosC
∴sin(B－C)=0
∴B=C
答案选C
题意“一定是”表明充要条件的逻辑性
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