Question

已知函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2

(1)若f(x)在x=-1时有极值 求a的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围

只需要第二问的答案，请用常规求导的方法做，我想知道第二问中当求了原函数的二阶导以后a＞1的讨论情况
老师在学校用的方法是这样的：
（2）f(x)=x(e^x-1)-ax^2
f(x)的导函数=e^x(x+1)-1-2ax
设t(x)=e^x(x+1)-1-2ax
t(x)的导函数=e^x(x+2)-2a
∵x≥0，∴e^x≥1，x+2≥2
∴e^x(x+2)≥2
当2a≤2 有a≤1
得到t(x)在x≥0上单增 。依着做下去得到a≤1的结果

学校老师说这才只是做了一半
还要讨论当2a＞2时即a＞1时的情况。（我想知道的就是这后面的情况）

Answer 1

解：原函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2， 已知x>=0 f(x)>=0
因为：f(0)=0, 在x>0情况下，要使f(x)>0,只要函数为单调递增函数就行了。
函数单调递增的条件为f'(x)>0 即f'(x)=(e^x-1)+xe^x-2ax=(e^x-1)+x(e^x-2a)>0
因为(e^x-1)>=0, e^x>=1 则有不等式：1-2a>0 解得：a<1/2
故：a的取值范围为：a<1/2