Question

已知函数f（x）=xlnx，（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围

已知函数f（x）=xlnx，（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）， f（x）的导数f′（x）=1+lnx， 令f′（x）＞0，解得 ；令f′（x）＜0，解得 ， 从而f（x）在 单调递减，在 单调递增， 所以，当 时，f（x）取得最小值 ； （Ⅱ）依题意，得 在[1，+∞)上恒成立， 即不等式 对于x∈[1，+∞)恒成立， 令 ， 则 ， 当x＞1时，因为 ， 故g（x）是（1，+∞）上的增函数， 所以g（x）的最小值是g（1）=1， 从而a的取值范围是(-∞，1]。