Question

已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）．（Ⅰ）求：a1，a2的值；（Ⅱ）求：数列{an}的

已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）．（Ⅰ）求：a1，a2的值；（Ⅱ）求：数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn=nan，（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵S_n=2a_n-n，
令n=1，解得a₁=1；
令n=2，解得a₂=3     …（2分）
（Ⅱ）∵S_n=2a_n-n，
所以S_n-1=2a_n-1-（n-1），（n≥2）
两式相减得  a_n=2a_n-1+1                    …（4分）
所以a_n+1=2（a_n-1+1），（n≥2）…（5分）
又因为a₁+1=2
所以数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列  …（6分）
所以an+1＝2n，即通项公式 an＝2n?1  …（7分）
（Ⅲ）∵b_n=na_n，
所以bn＝n(2n?1)＝n?2n?n
所以Tn＝(1?2?1)+(2?22?2)+…+（n?2ⁿ-n）
Tn＝(1?2+2?22+…+n?2n)?(1+2+…+n)  …（9分）
令Sn＝1?2+2?22+…+n?2n    ①
2Sn＝1?22+2?23+…+(n?1)?2n+n?2n+1  ②
①-②得?Sn＝2+22+…+2n?n?2n+1
=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1  …（11分）
∴Sn＝2(1?2n)+n?2n+1=2+（n-1）?2ⁿ⁺¹     …（12分）
所以Tn＝2+(n?1)?2n+1?

n(n+1)

2

  …（13分）