Question

已知函数f（x）=loga（x-a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设函数h（x

已知函数f（x）=loga（x-a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设函数h（x）=ax+1，函数F（x）=[h（x）+2]2的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=log_a（x-a）+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（3，1）．
∴f（3）=log_a（3-a）+1=1，即log_a（3-a）=0，
解得3-a=1，解得a=2；
（Ⅱ）∵函数F（x）=[h（x）+2]²的图象恒在函数G（x）=h（2x）+m+2的上方
∴F（x）＞G（x）恒成立，
即[h（x）+2]²＞h（2x）+m+2，
即（2^x+3）²＞2^2x+1+m+2，
整理得m＜（2^x）²+2?2^x+6，
设H（x）=（2^x）²+2?2^x+6，令t=2^x，则t＞0，
则H（t）=t²+2t+6=（t+1）²+5，
∵t＞0，∴H（t）＞H（0）=6
∴m≤6．