Question

已知函数f(x) =2ˆx＋k·2ˆ﹙﹣x﹚，k∈R (1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值

已知函数f(x) =2ˆx＋k·2ˆ﹙﹣x﹚，k∈R
(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值
(2)若对任意的x∈[0,＋∞）都有f(x)>2ˆ﹙﹣x﹚成立,求实数k的取值范围

Answer 1

（1）因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)
2^(-x)+k*2^x=-2^x-k*2^(-x)
(k+1)*2^(-x)+(k+1)*2^x=0
(k+1)*[2^(-x)+2^x]=0
因为2^(-x)+2^x≠0，所以k=-1
（2）令t=2^x，因为x>=0，所以t>=1
f(x)=t+k/t>1/t
t+(k-1)/t>0
t^2>1-k
t>√(1-k)
因为当t>=1时，t>√(1-k)恒成立
所以0<=√(1-k)<1
即0<k<=1