Question

（本题12分）直线l:y=kx＋1与双曲线C: 的右支交于不同的两点A,B（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存

（本题12分）直线l:y=kx＋1与双曲线C: 的右支交于不同的两点A,B（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）－2＜k＜ （Ⅱ）k＝－ 时，使得以线段AB为直径的圆经过的双曲线C的右焦点。

试题分析：（Ⅰ）由 据题意：     解得－2＜k＜ （Ⅱ）设A,B两点的坐标分别为（x 1 ,y 1 ），（x 2 ,y 2 ） 则由①式得： 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过双曲线C的右焦点F（ ，0），则FA FB. ∴ · ＝0 即：（x 1 － ）（x 2 － ）＋y 1 y 2 ＝0 （x 1 － ）（x 2 － ）＋（kx 1 ＋1）（kx 2 ＋1）＝0 （1＋k 2 ）x 1 x 2 ＋（k－ ）（x 1 ＋ x 2 ）＋ ＝0 ∴（1＋k 2 ） ＋（k－ ）· ＋ ＝0 ∴5k 2 ＋2 －6＝0 ∴k＝－ 或k＝ （－2，－ ）（舍去） ∴k＝－ 时，使得以线段AB为直径的圆经过的双曲线C的右焦点。 点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理。存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备。