Question

已知一个数列{an}，a1=1，an+1=2an+3n+1，求数列{an}的通项公式

已知一个数列{an}，a1=1，an+1=2an+3n+1，求数列{an}的通项公式．

Answer 1

设a_n+1+k（n+1）+b=2（a_n+kn+b），则a_n+1=2a_n+kn+b-k，
∵a_n+1=2a_n+3n+1，
∴k=3，b=4，
∵a₁=1，
∴{a_n+3n+4}是以8为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n+3n+4=2ⁿ⁺²，
∴a_n=2ⁿ⁺²-3n-4．

Answer 2

a1=1，an+1=2an+3n+1，
a(n+1)+3(n+1)+4=2[an+3n+4]
[a(n+1)+3(n+1)+4]/[an+3n+4]=2
{an+3n+4}是等比数列
an+3n+4＝（a1+3*1+4）*2^(n-1)=8*2^(n-1)=2^(n+2)
an+3n+4＝2^(n+2)
an=[2^(n+2)]-(3n+4)

Answer 3

解：设a（n+1）+k（n+1）+b=2（an+kn+b），
则a（n+1）=2an+kn+2b-k，
∵an+1=2an+3n+1，
∴k=3，2b-k=1 b=2，
∵a1=1，
∴{an+3n+2}是以a1=1+3+2=6为首项，2为公比的等比数列，
∴an+3n+2= 6·2ⁿ/2
∴an=3·2ⁿ-3n-2=3(2ⁿ-n)-2