Question

已知不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大

已知不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵|t+3|-|t-2|≤|（t+3）-（t-2）|=5，不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m²对任意t∈R恒成立，
可得6m-m²≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}．
（Ⅱ）由题意可得 λ=5，3x+4y+5z=5．
∵（x²+y²+z²）（3²+4²+5²）≥（3x+4y+5z）²=25，当期仅当

x

3

=

y

4

=

z

5

时，等号成立，
即x=

3

10

，y=

2

5

，z=

1

2

 时，取等号．
∴50（x²+y²+z²）≥25，∴x²+y²+z²≥

1

2

，即x²+y²+z²的最小值为

1

2

，