Question

在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，试说明AB=AC+CD

在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，试说明AB=AC+CD．

Answer 1

根据正弦定理 和∠C=2∠B
在△ABC中有
AC:AB:BC=sin∠B:sin∠C:sin∠A=sin∠B:sin∠C:sin(π-(∠B+∠C))=sin∠B:sin2∠B:sin3∠B=sin∠B:(2sin∠Bcos∠B):(sin∠B(3-4(sin∠B)^2))=1:(2cos∠B):(4(cos∠B)^2-1)
AC:AB:(BD+DC)=1:(2cos∠B):(4(cos∠B)^2-1) ......(1)
在△ABD中有
BD/sin∠1=AB/sin∠ABD .....(2)
在△ADC中有
DC/sin∠2=AC/sin∠ADC=AC/sin（π-∠ABD)=AC/sin∠ABD .....(3)
由已知∠1=∠2， (2)和(3)两式相除得,
BD/DC=AB/AC
BD=AB/AC*DC 代入（1）
AC:AB:(DC(AB+AC)/AC)=1:(2cos∠B):(4(cos∠B)^2-1)
由（1）得 (AB+AC)/AC=（2cos∠B+1）：1=2cos∠B+1
AC:AB:(DC(2cos∠B+1))=1:(2cos∠B):(4(cos∠B)^2-1)
AC:AB:DC= 1:(2cos∠B):((4(cos∠B)^2-1) /(2cos∠B+1))=1:(2cos∠B):(2cos∠B-1)
(AC+DC):AB=(1+2cos∠B-1):(2cos∠B)=1:1
即AC+DC=AB
证毕

Answer 2

证明：在AB上取一点E使AE=AC，
∵∠1=∠2，AE=AC，AD=AD，
∴△ADC≌△ADE．
∴DE=DC，∠AED=∠C．
∵∠AED=∠B+∠EDB，∠C=2∠B，
∴∠B=∠EDB．∴BE=DE．
又∵DE=DC，
∴BE=DC．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+DC．