Question

如图，抛物线y＝－x 2 ＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线

如图，抛物线y＝－x 2 ＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）M为第一象限内抛物线上一动点，点M在何处时，△ACM的面积最大；（3）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使得△PAC为直角三角形？若存在，请求出所有可能点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y＝－x 2 ＋2x＋8；（2）（2，8）；（3）（1，4＋ ）或（1，4－ ）

试题分析：（1）由抛物线股过点A（4，0），B（－2，0）根据待定系数法求解即可； （2）设M坐标为（a，－a 2 ＋2a＋8），先求得点C的坐标，再求得直线AC的解析式，过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为(a，－2a＋8)，根据△ACM的面积＝△MNC的面积＋△AMN的面积再结合二次函数的性质求解即可； （3）分①当∠ACP＝90°时，②当∠CAP＝90°时，③当∠APC＝90°时，这三种情况分析即可. （1）∵y＝－x 2 ＋mx＋n与x轴分别交于点A（4，0），B（－2，0）， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x 2 ＋2x＋8； （2）设M坐标为（a，－a 2 ＋2a＋8），其中a＞0． ∵抛物线与y轴交于点C， ∴C(0，8)． ∵A（4，0），C(0，8)． ∴直线AC的解析式为y＝－2x＋8． 过点M作x轴的垂线，交AC于N，则N的坐标为(a，－2a＋8)． ∴△ACM的面积＝△MNC的面积＋△AMN的面积＝－a 2 ＋4a＝－(a－2) 2 ＋4 当a＝2，即M坐标为（2，8）时，△ACM的面积最大，最大面积为4； （3）①当∠ACP＝90°时，点P的坐标为(1，9.5)； ②当∠CAP＝90°时，点P的坐标为（1，－1.5）；  ③当∠APC＝90°时，点P的坐标为（1，4＋ ）或（1，4－ ）． 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．