已知函数f(x)=ln(x+1)+ax 2 -x，a∈R．（1）当 时，求函数y=f(x)的极值；（2）是否存在实数b∈(0,1)，使
已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2-x，a∈R．（1）当时，求函数y=f(x)的极值；（2）是否存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大...
已知函数f(x)=ln(x+1)+ax 2 -x，a∈R．（1）当 时，求函数y=f(x)的极值；（2）是否存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，请说明理由．
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| （1）在x=1处取到极小值为  ，在x=0处取到极大值为0；（2） ． |
| 试题分析：（1）将  代入函数f(x)解析式，求出函数f(x)的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出x的取值范围与 的符号及f(x)的单调性情况表，从表就可得到函数f(x）的极值；（2）由题意首先求得： ，故应按 分类讨论：当a≤0时，易知函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减,从而当b∈(0,1)时f(b)<f(0)，所以不存在实数b∈(0,1)，符合题意；当a>0时，令 有x=0或 ，又要按根 大于零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数f(x）x∈(-1,b]的最大值，使其最大值恰为f(b)，分别求得a的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的a的取值范围为空则不存在，否则存在．试题解析：（1）当  时， ，则  ，化简得 （x>-1） 2分 列表如下：
∴函数f(x)在(-1,0)，(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且f(0)=0，  ， 4分∴函数y=f(x)在x=1处取到极小值为 ，在x=0处取到极大值为0； 5分 （2）由题意 （1）当a≤0时，函数f(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减, 此时，不存在实数b∈(0,1)，使得当x∈(-1,b]时，函数f(x)的最大值为f(b)； 7分 （2）当a>0时，令 有x=0或 ，(ⅰ)当 
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