Question

若W1,W2是n维线性空间V的两个线性子空间,dim(W1+W2)-1=dim(W1∩W2),证明

若W1,W2是n维线性空间V的两个线性子空间,dim(W1+W2)-1=dim(W1∩W2),证明W1+W2与其中的一个子空间相等，W1∩W2与另一个子空间相等。

Answer 1

因为dim(W1+W2)>=dim(W1)>=dim(W1∩W2)=dim(W1+W2)-1
即dim(W1+W2)>=dim(W1)>=dim(W1+W2)-1
由于空间的维数为非负整数，
所以，要么dim(W1)=dim(W1+W2)，要么dim(W1)=dim(W1+W2)
若dim(W1)=dim(W1+W2)
则由于W1是W1+W2的子空间，当其的维数与W1+W2相等时，它的一组基就是W1+W2的一组基，
此时，W1=W1+W2
从而由dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2)
得dim(W1)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2)
即dimW2=dim(W1∩W2)
同样，因为W1∩W2是W2的子空间，故此时W1∩W2=W2，
同理，若dim(W1)=dim(W1+W2)，则易证此时W1∩W2=W1，W1+W2=W2
这就证明了
若W1,W2是n维线性空间V的两个线性子空间,dim(W1+W2)-1=dim(W1∩W2),证明W1+W2与其中的一个子空间相等，W1∩W2与另一个子空间相等。