Question

如图所示，两根金属平行导轨MN和PQ放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为L，电阻不计．水平段导

如图所示，两根金属平行导轨MN和PQ放在水平面上，左端向上弯曲且光滑，导轨间距为L，电阻不计．水平段导轨所处空间有两个有界匀强磁场，相距一段距离不重叠，磁场Ⅰ左边界在水平段导轨的最左端，磁感强度大小为B，方向竖直向上；磁场Ⅱ的磁感应强度大小为2B，方向竖直向下．质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b垂直导轨放置在其上，金属棒b置于磁场Ⅱ的右边界CD处．现将金属棒a从弯曲导轨上某一高处由静止释放，使其沿导轨运动．设两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好． （1）若水平段导轨粗糙，两金属棒与水平段导轨间的最大摩擦力均为 1 5 mg，将金属棒a从距水平面高度h处由静止释放．求：?金属棒a刚进入磁场Ⅰ时，通过金属棒b的电流大小；?若金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b能在导轨上保持静止，通过计算分析金属棒a释放时的高度h应满足的条件；（2）若水平段导轨是光滑的，将金属棒a仍从高度h处由静止释放，使其进入磁场Ⅰ．设两磁场区域足够大，求金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b中可能产生焦耳热的最大值．

Answer 1

（1）①金属棒在弯曲光滑导轨上运动的过程中，机械能守恒，设其刚进入磁场Ⅰ时速度为v 0 ，产生的感应电动势为E，电路中的电流为I．　　 由机械能守恒mgh= 1 2 m v 20 ，解得v 0 = 2gh 　　感应电动势E=BLv 0 ，对回路有：I= E 2R 　　解得：I= BL 2gh 2R 　　②对金属棒b：所受安培力F=2BIL 　　又因 I= BL 2gh 2R 　　 金属棒b棒保持静止的条件为F≤ 1 5 mg 　　解得 h≤ g m 2 R 2 50 B 4 L 4 　　（2）金属棒a在磁场Ⅰ中减速运动，感应电动势逐渐减小，金属棒b在磁场Ⅱ中加速运动，感应电动势逐渐增加，当两者相等时，回路中感应电流为0，此后金属棒a、b都做匀速运动．设金属棒a、b最终的速度大小分别为v 1 、v 2 ，整个过程中安培力对金属棒a、b的冲量大小分别为I a 、I b ． 　　由BLv 1 =2BLv 2 ，解得v 1 =2v 2 　　设向右为正方向： 对金属棒a，由动量定理有-I a =mv 1 -mv 0 　　 对金属棒b，由动量定理有-I b =-mv 2 -0 　　由于金属棒a、b在运动过程中电流始终相等，则金属棒a受到的安培力始终为金属棒b受到安培力的2倍，因此有两金属棒受到的冲量的大小关系　I b =2I a 　　解得v 1 = 4 5 v 0 ，v 2 = 2 5 v 0 　　根据能量守恒，回路中产生的焦耳热Q= 1 2 m v 20 - 1 2 [ 1 2 m( 2 5 v 0 ) 2 + 1 2 m( 4 5 v 0 ) 2 ] = 1 10 m v 20 = 1 5 mgh 　　Q b = 1 10 mgh 答：（1）金属棒a刚进入磁场Ⅰ时，通过金属棒b的电流大小是 BL 2gh 2R ；?若金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b能在导轨上保持静止，金属棒a释放时的高度h应满足的条件是h≤ g m 2 R 2 50 B 4 L 4 ； （2）金属棒a在磁场Ⅰ内运动过程中，金属棒b中可能产生焦耳热的最大值是 1 10 mgh．