Question

如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d、方

如图所示，两根间距为L的金属导轨MN和PQ，电阻不计，左端向上弯曲，其余水平，水平导轨左端有宽度为d、方向竖直向上的匀强磁场I，右端有另一磁场II，其宽度也为d，但方向竖直向下，磁场的磁感强度大小均为B．有两根质量均为m、电阻均为R的金属棒a和b与导轨垂直放置，b棒置于磁场II中点C、D处，导轨除C、D两处（对应的距离极短）外其余均光滑，两处对棒可产生总的最大静摩擦力为棒重力的K倍，a棒从弯曲导轨某处由静止释放．当只有一根棒作切割磁感线运动时，它速度的减小量与它在磁场中通过的距离成正比，即△v∝△x．（1）若a棒释放的高度大于h 0 ，则a棒进入磁场I时会使b棒运动，判断b 棒的运动方向并求出h 0 ．（2）若将a棒从高度小于h 0 的某处释放，使其以速度v 0 进入磁场I，结果a棒以 v 0 2 的速度从磁场I中穿出，求在a棒穿过磁场I过程中通过b棒的电量q和两棒即将相碰时b棒上的电功率P b ．（3）若将a棒从高度大于h 0 的某处释放，使其以速度v 1 进入磁场I，经过时间t 1 后a棒从磁场I穿出时的速度大小为 2 v 1 3 ，求此时b棒的速度大小，在如图坐标中大致画出t 1 时间内两棒的速度大小随时间的变化图象，并求出此时b棒的位置．

Answer 1

（1）根据左手定则判断知b棒向左运动． a棒从h 0 高处释放后在弯曲导轨上滑动时机械能守恒，有 mgh 0 = 1 2 mv 2 得v= 2 gh 0 a棒刚进入磁场I时E=BLv 此时感应电流大小I= E 2R 此时b棒受到的安培力大小F=BIL 依题意，有F=Kmg 求得h 0 = 2K 2 m 2 gR 2 B 4 L 4 （2）由于a棒从小于进入h 0 释放，因此b棒在两棒相碰前将保持静止． 流过电阻R的电量q= . I △t 又 . I = . E R 总 = B△S R 总 △t 所以在a棒穿过磁场I的过程中，通过电阻R的电量 q= BLd 2R 将要相碰时a棒的速度 v= v 0 2 - v 0 - v 0 2 d × d 2 = v 0 4 此时电流I= B Lv 0 8R 此时b棒电功率P b =I 2 R= B 2 L 2 v 20 64R ． （3）由于a棒从高度大于h 0 处释放，因此当a棒进入磁场I后，b棒开始向左运动．由于每时每刻流过两棒的电流强度大小相等，两磁场的磁感强度大小也相等，所以两棒在各自磁场中都做变加速运动，且每时每刻两棒的加速度大小均相同，所以当a棒在t 1 时间内速度改变（v 1 - 2 3 v 1 ）= 1 3 v 1 时，b棒速度大小也相应改变了 1 3 v 1 ，即此时b棒速度大小为 1 3 v 1 ．  两棒的速度大小随时间的变化图象大致如图所示： 通过图象分析可知，在t 1 时间内，两棒运动距离之和为v 1 t 1 ，所以在t 1 时间内b棒向左运动的距离为△S=（v 1 t 1 -d）， 距离磁场II左边界距离为 △L= d 2 -△S= 3d 2 -v 1 t 1 ．