Question

已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4（1）若平面上有两点A（1，0），B（-1，0），点P是圆C上的动点，求使|AP|2+

已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=4（1）若平面上有两点A（1，0），B（-1，0），点P是圆C上的动点，求使|AP|2+|BP|2取得最小值时P的坐标；（2）若Q是x轴上的点，QM，QN分别切圆C于M，N两点，若|MN|=23，求直线QC的方程．

Answer 1

（1）设P（x，y），由点A（1，0），B（-1，0），
得到|AP|²+|BP|²=（x-1）²+y²+（x+1）²+y²=2（x²+y²）+2=2|OP|²+2，
∵P为圆上的点，
∴|OP|_min=|OC|-r=

32+42

-2=5-2=3，
∴（|AP|²+|BP|²）_min=2×3²+2=20，
此时直线OC：y=

4

3

x，
联立得：

y= 4 3 x (x-3)2+(y-4)2=4

，
解得：

x= 9 5 y= 12 5

或

x= 21 5 ＞3 y= 28 5

（舍去），
∴点P的坐标为(

9

5

，

12

5

)；
（2）设Q（x₀，0），
∵圆C的半径r=2，|MN|=2

3

，
∴∠MCN=

2π

3

，
又△QCN≌△QCM，∠MCQ=

π

3

，∠CMQ=

π

2

，|CM|=2，
∴|QC|=4，即（x₀-3）²+（0-4）²=16，
解得：x₀=3，
则所求直线QC的方程为x=3．