Question

阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，

阅读以下短文，然后解决下列问题： 如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”，显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个． （1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；（2）如图②，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小； （3）若△ABC是锐角三角形，且BC＞AC＞AB，在图③中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．

Answer 1

解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．       （2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF．       易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍， ∴△ABC的“友好矩形”的面积相等．               （3）此时共有3个友好矩形，如图的BCDE、CAFG及ABHK， 其中的矩形ABHK的周长最小．                          证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等，令其为S，设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为L 1 ，L 2 ，L 3 ，△ABC的边长BC=a，CA=b，AB=c， 则：L 1 = +2a，L 2 = +2b，L 3 = +2c， ∴L 1 ﹣L 2 =（ +2a）﹣（ +2b）=﹣ （a﹣b）+2（a﹣b）=2（a﹣b） ，而ab＞S，a＞b， ∴L 1 ﹣L 2 ＞0，即L 1 ＞L 2 ， 同理可得，L 2 ＞L 3 ， ∴L 3 最小，即矩形ABHK的周长最小．