Question

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)，(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；(2)求证：f

已知函数f(x)=x-1-alnx(a∈R)，(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x-y-3=0，求实数a的值；(2)求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1；(3)若a＜0，且对任意x 1 ，x 2 ∈(0，1]，都有|f(x 1 )-f(x 2 )|≤ ，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：(1)因为 ，所以f′(1)=1-a， 所以曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率为1-a， 因为曲线y=f(x)在x=1处的切线为3x-y-3=0， 所以1-a=3，解得a=-2。 (2)①充分性： 当a=1时，f(x)=x-1-lnx， ， 所以当x＞1时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(1，+∞)上是增函数； 当0＜x＜1时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，1)上是减函数， 所以f(x)≥f(1)=0． ②必要性： ，其中x＞0， (ⅰ)当a≤0时，因为f′(x)＞0恒成立，所以函数f(x)在(0，+∞)上是增函数， 而f(1)=0，所以当x∈(0，1)时，f(x)＜0，与f(x)≥0恒成立相矛盾， 所以a≤0不满足题意； (ⅱ)当a＞0时，因为当x＞a时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在(a，+∞)上是增函数； 当0＜x＜a时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在(0，a)上是减函数， 所以f(x)≥f(a)=a-1-alna， 因为f(1)=0，所以当a≠1时，f(a)＜f(1)=0，此时与f(x)≥0恒成立相矛盾， 所以a=1； 综上所述，f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1． (3)由(2)可知，当a＜0时，函数f(x)在(0，1]上是增函数， 又函数 在(0，1]上是减函数， 不妨设0＜x 1 ≤x 2 ≤1，则 ， 所以 等价于f(x 2 )-f(x 1 )≤ ， 即 ， 设 ， 则 等价于函数h(x)在区间(0，1]上是减函数， 因为 ， 所以x 2 -ax-4≤0在x∈(0，1]上恒成立，即 在x∈(0，1]上恒成立， 即a不小于 在区间(0，1]内的最大值， 而函数 在区间(0，1]上是增函数， 所以 的最大值为-3， 所以a≥-3， 又a＜0， 所以a∈[-3，0)．