Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点相同，A（2，0）在椭圆上，过椭圆的右

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点相同，A（2，0）在椭圆上，过椭圆的右焦点F作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于E，G两点，直线AE，AG分别交直线x=m（m＞2）于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF的斜率为k′．（1）求椭圆方程；（2）求k?k′的取值范围．

Answer 1

（1）由抛物线y²=-4x，可得焦点F（1，0）相同，∴c=1．
又A（2，0）在椭圆上，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3．
故所求的椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

＝1．
（2）点F（1，0），设直线l的方程为：y=k（x-1），
联立

y＝k(x?1) x2 4 + y2 3 ＝1

得 （4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
设E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
则x1+x2＝

8k2

4k2+3

，x1x2＝

4k2?12

4k2+3

．
直线AE：y＝

y1

x1?2

(x?2)，故M(m，

y1(m?2)

x1?2

)，
同理可得N(m，

y2(m?2)

x2?2

)．
∴点P(m，

1

2

(

y1(m?2)

x1?2

+

y2(m?2)

x2?2

))，
k′＝

m?2

2(m?1)

(

y1

x1?2

+

y2

x2?2

)=

(m?2)k

2(m?1)

(

x1?1

x1?2

+

x2?1

x2?2

)，
=

(m?2)k

2(m?1)

?

2x1x2?3(x1+x2)+4

x1x2?2(x 1+x2)+4

=

(m?2)k

2(m?1)

?

?12

4k2

＝?

3

2k

?

m?2

m?1

∴k?k′＝?

3

2

?

m?2

m?1

，
又∵m＞2
∴k?k′∈(?

3

2

，0)．