Question

设椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),抛物线Y2=-4a2x的准线与x轴的交点为A，且

向量AF1=2向量AF2。
（2）过F1，F2作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点，求四边形DMEN面积的最大值和最小值

Answer 1

设椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0),抛物线Y2=-4a2x的准线与x轴的交点为A，且向量AF1=2向量AF2。
（2）过F1，F2作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点，求四边形DMEN面积的最大值和最小值
解析：∵椭圆C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1(-1,0)、F2(1,0)
∴c^2=1
∵抛物线Y2=-4a2x的准线与x轴的交点为A，且向量AF1=2向量AF2
∴2P=4a^2
|向量AF1|=2|向量AF2|==>|F1F2|=|AF2|==>A(3,0)==>p/2=3==>p=6==>a^2=3
∴b^2=a^2-c^2=3-1=2
∴椭圆C1:x2/3+y2/2=1
∵过F1，F2作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点
设DE为过F1的焦点弦
由极坐标可知|DE|=ep/(1-ecosθ)+ ep/[1-ecos(π+θ)]=ep[1/(1-ecosθ)+ 1/(1+ecosθ)]
=2ep/[1-e^2(cosθ)^2)] (0<=θ<=2π)
由椭圆的对称性可知，过另一焦点且垂直于DE的弦长
即|MN|==ep/(1-ecos(θ+π/2))+ ep/[1-ecos(3π/2+θ)]=ep[1/(1+esinθ)+ 1/(1-esinθ)]
=2ep/[1-e^2(sinθ)^2)]
∴四边形DMEN面积=1/2*|DE|*|MN|=2e^2p^2/{[1-e^2(sinθ)^2)] [1-e^2(cosθ)^2)]}
=2e^2p^2/{[1-e^2(sinθ)^2)] [1-e^2(cosθ)^2)]}
e^2=1/3,p=3-1=2
∴四边形DMEN面积=8/3{[1-1/3(sinθ)^2)] [1-1/3(cosθ)^2)]}
=24/{[3-(sinθ)^2)] [3-(cosθ)^2)]} =24/{[3-(sinθ)^2)] [2+(sinθ)^2)]}
=96/[25-(cos2θ)^2] (0<=θ<=π)
当(cos2θ)^2=1==>θ=0, θ=π/2时，最大，四边形DMEN面积=4
当(cos2θ)^2=0==>θ=π/4, θ=3π/4时，最小，四边形DMEN面积=96/25